Mathematics For Economic Analysis Knut Sydsaeter Pdf

Le théorème de Schwarz, de Clairaut ^[1] ou de Young ^[2] est un théorème d'analyse portant sur les dérivées partielles secondes d'une fonction de plusieurs variables. Il apparaît pour la première fois dans un cours de calcul différentiel donné par Weierstrass en 1861 auquel assistait alors Hermann Schwarz à Berlin.

Énoncé [modifier | modifier le code]

La symétrie de la hessienne signifie que le résultat d'une dérivation partielle à l'ordre 2 par rapport à deux variables ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport à ces deux variables :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)(a)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(a)}$ .

Ce théorème est parfois appelé par les anglophones «Young's theorem ^[7]  » (théorème de Young), nom qui désigne également une extension aux dérivées d'ordre supérieur ^[8] .

Un contre-exemple [modifier | modifier le code]

La fonction f ne possède pas de dérivée seconde en (0, 0).

Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées. Un premier contre-exemple, assez compliqué, a été donné par Schwarz lui-même en 1873. Un deuxième contre-exemple, plus simple, est proposé par Peano en 1884 ^[9] . Il s'agit de la fonction définie par :

${\displaystyle f\left(x,y\right)={\begin{cases}{\frac {xy\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}}&{\text{si }}\left(x,y\right)\neq \left(0,0\right)\\0&{\text{sinon,}}\end{cases}}}$

qui vérifie

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\left(0,0\right)=-1\quad {\text{tandis que}}\quad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\left(0,0\right)=1}$ ^[10] .

Application aux formes différentielles [modifier | modifier le code]

Considérons, en dimension 2, la 1-forme différentielle exacte suivante, où f est de classe C² :

${\displaystyle \mathrm {d} f=a(x,y)\,\mathrm {d} x+b(x,y)\,\mathrm {d} y.}$

Alors,

${\displaystyle a(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y){\text{ et }}b(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y).}$

En appliquant le théorème de Schwarz, on en déduit :

${\displaystyle {\frac {\partial b}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial a}{\partial y}}(x,y).}$

Ceci est donc une condition nécessaire d'exactitude de la forme différentielle. Une forme différentielle vérifiant cette condition nécessaire est dite fermée.

Plus généralement, en dimension n :

toute forme exacte de classe C¹ est fermée,

ce qui, dans le cas particulier d'une 1-forme ω, s'écrit :

${\displaystyle {\text{si }}\omega =\mathrm {d} f{\text{ alors }}\mathrm {d} \omega :=\sum _{i<j}\left({\frac {\partial \omega _{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial x_{j}}}\right)\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{j}=0.}$

Démonstration pour une 1-forme

Notes et références [modifier | modifier le code]

1. ↑ En France et en Belgique, il est parfois appelé théorème de Clairaut. Cf. James Stewart (trad. Micheline Citta-Vanthemsche), Analyse. Concepts et contextes, vol. 2 : Fonctions de plusieurs variables, De Boeck, 2006, 1064p. (ISBN978-2-8041-5031-0, lire en ligne), p. 764 .
2. ↑ Knut Sydsaeter, Peter Hammond (trad. de l'anglais par Micheline Citta-Vanthemsche), Mathématiques pour l'économie [«Mathematics for Economic Analysis »], Pearson, 2014 .
3. ↑ Sylvie Benzoni-Gavage, Calcul différentiel et équations différentielles : cours et exercices corrigés, Dunod, 2014, 2^e éd. (lire en ligne), p. 72 .
4. ↑ Une démonstration est disponible sur Wikiversité (voir infra ).
5. ↑ Le théorème est souvent énoncé et démontré sous l'hypothèse plus restrictive que f est de classe C² sur U .
6. ↑ Henri Cartan, Cours de calcul différentiel, Hermann, 1967, rééd. 1977, p. 65-69.
7. ↑ (en) « Young's theorem » (version du 11 juillet 2006 sur l'Internet Archive) , sur UC Berkeley, Department of Agricultural & Resource Economics.
8. ↑ (en) R. G. D. Allen, Mathematical Analysis for Economists, New York, St. Martin's Press, 1964 (lire en ligne), p. 300-305 .
9. ↑ Ernst Hairer et Gerhard Wanner (trad. de l'anglais), L'Analyse au fil de l'histoire [«Analysis by Its History »], Springer, 2001 (1^re éd. 1996) (lire en ligne), p. 316-317 .
10. ↑ Ce contre-exemple est détaillé sur Wikiversité (voir infra ).

Voir aussi [modifier | modifier le code]

Lemme de Poincaré

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Source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Schwarz

Posted by: vaughnreyel1980.blogspot.com

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